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数学史论文
一、引言
流形是20世纪数学有代表性的基本概念，它集几何、代数、分析于一体，成为现代数学的重要研究对象。在数学中，流形作为方程的非退化系统的解的集合出现，也是几何的各种集合和允许局部参数化的其他对象。〔1〕53物理学中，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。
流形是局部具有欧氏空间性质的拓扑空间，粗略地说，流形上每一点的附近和欧氏空间的一个开集是同胚的，流形正是一块块欧氏空间粘起来的结果。从整体上看，流形具有拓扑结构，而拓扑结构是“软”的，因为所有的同胚变形会保持拓扑结构不变，这样流形具有整体上的柔性，可流动性，也许这就是中文译成流形(该译名由着名数学家和数学教育学家江泽涵引入)的原因。
流形作为拓扑空间，它的起源是为了解决什么问题？是如何解决的？谁解决的？形成了什么理论？这是几何史的根本问题。目前国内外对这些问题已有一些研究〔1-7〕，本文在已有研究工作的基础上，对流形的历史演变过程进行了较为深入、细致的分析，并对上述问题给予解答。
二、流形概念的演变
流形概念的起源可追溯到高斯(,1777-1855)的内蕴几何思想,黎曼(n,1826-1866)继承并发展了的高斯的想法，并给出了流形的描述性定义。随着集合论和拓扑学的发展，希尔伯特(t,1862-1943)用公理化方案改良了黎曼对流形的定义，最终外尔(,1885-1955)给出了流形的严格数学定义。
1.高斯-克吕格投影和曲纹坐标系
十八世纪末及十九世纪初，频繁的拿破仑战争和欧洲经济的发展迫切需要绘制精确的地图，于是欧洲各国开始有计划地实施本国领域的大地测量工作。1817年，汉诺威政府命令高斯精确测量从哥廷根到奥尔顿子午线的弧长，并绘制奥尔顿的地图，这使得高斯转向大地测量学的问题与实践。高斯在绘制地图中创造了高斯-克吕格投影，这是一种等角横轴切椭圆柱投影，它假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线上，按照等角条件将中央经线东、西各3°或1.5°经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，然后将椭圆柱面展开成平面。
采用分带投影的方法，是为了使投影边缘的变形不致过大。当大的控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。高斯-克吕格投影相当于把地球表面看成是一块块平面拼起来的，并且相邻投影带的坐标可以进行换算。这种绘制地图的方式给出了“流形”这个数学概念的雏形。
大地测量的实践导致了高斯曲面论研究的丰富成果。由于地球表面是个两极稍扁的不规则椭球面，绘制地图实际上就是寻找一般曲面到平面的保角映射。高斯利用复变函数，得出两个曲面之间存在保角映射的充要条件是两个曲面的第一类基本量成比例。高斯关于这一成果的论文《将一给定曲面投影到另一曲面而保持无穷小部分相似性的一般方法》使他获得了1823年哥本哈根科学院的大奖，也使他注意到当比例常数为1时，一个曲面可以完全展开到另一个曲面上。高斯意识到这个成果的重要性，在论文的标题下面写下了一句话：“这些结果为重大的理论铺平了道路。”〔8〕189这里重大的理论就是高斯后来建立的内蕴几何学。
全面展开高斯的内蕴几何思想的是他1827年的论文《关于曲面的一般研究》，这是曲面论建立的标志性论述。〔2〕163高斯在这篇文章中有两个重要创举：第一，高斯曲率只依赖于曲面的度量，即曲面的第一基本形式；第二，测地三角形内角和不一定等于180°，它依赖于三角形区域的曲率积分。高斯的发现表明，至少在二维情况下可以构想一种只依赖于第一基本形式的几何，即曲面本身就是一个空间而不需要嵌入到高维空间中去。〔3〕32,〔4〕308高斯在这两篇论文中都使用曲纹坐标(u,v)表示曲面上的一个点，这相当于建立了曲面上的局部坐标系。突破笛卡尔直角坐标的局限性是高斯迈出的重要一步，但问题是：曲纹坐标只适用于曲面的局部，如果想使曲面上所有的点都有坐标表示，就需要在曲面上建立若干个局部坐标系，那么这些坐标系是否彼此协调一致？这是高斯的几何的基础。高斯当时不具备足够的数学工具来发展他的几何构想，但高斯对空间的认识深刻地影响了黎曼。
2.黎曼的“关于几何基础的假设”
黎曼在1851年的博士论文《单复变函数的一般理论》中，为研究多值解析函数曾使用黎曼面的概念，也就是一维复流形，但流形是什么还没有定义。在高斯的几何思想和赫巴特(t,1776-1841)的哲学思想的影响下,黎曼1854年在哥廷根做了着名演讲《关于几何基础的假设》，演讲中他分析了几何的全部假设，建立了现代的几何观。〔5〕2全文分三部分，第一部分是n维流形的概念，第二部分是适用于流形的度量关系，第三部分是对空间的应用。
黎曼在开篇中提到：“几何学事先设定了空间的概念，并假设了空间中各种建构的基本原则。关于这些概念，只有叙述性的定义，重要的特征则以公设的形态出现。这些假设(诸如空间的概念及其基本性质)彼此之间的关系尚属一篇空白；我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的关联，相关到什么地步，甚至不知道是否能导出任何的相关性。从欧几里得到几何学最着名的变革家雷建德，这一领域无论是数学家还是哲学家都无法打破这个僵局。这无疑是因为大家对于多元延伸量的概念仍一无所知。因此我首先要从一般量的概念中建立多元延伸量的概念。”〔9〕411从开篇中我们可以看到黎曼演讲的目的所在：
建立空间的概念，因为这是几何研究的基础。黎曼为什么要建立空间的概念？这与当时非欧几何的发展有很大关系。罗巴切夫斯基(hevsky,1793-1856)和波约(,1802-1860)已经公开发表了他们的非欧几何论文，高斯没有公开主张非欧几何的存在，但他内心是承认非欧几何并做过深入思考的。然而就整个社会而言，非欧几何尚未完全被人们接受。黎曼的目的之一，是以澄清空间是什么这个问题来统一已经出现的各种几何；并且不止如此，黎曼主张一种几何学的全局观：作为任何种类的空间里任意维度的流形研究。
黎曼在第一部分中引入了n维流形的概念。他称n维流形为n元延伸量，把流形分为连续流形与离散流形，他的研究重点是把连续流形的理论分为两个层次，一种是与位置相关的区域关系，另一种是与位置无关的大小关系。用现代术语来讲，前者是拓扑的理论，后者是度量的理论。黎曼是如何构造流形呢？他的造法类似于归纳法，n+1维流形是通过n维流形同一维流形递归地构造出来的；反过来，低维流形可以通过高维流形固定某些数量简缩而成。这样每一个n维流形就有n个自由度，流形上每一点的位置可以用n个数值来表示，这n个数值就确定了一个点的局部坐标。黎曼这种构造流形的方法显然是受到赫巴特的影响。赫巴特在《论物体的空间》中提到：
“从一个维度前进到另一个维度所依据的方法，很明显是一个始终可以继续发展的方法，然而现在还没有人会想到按空间的第三个维度去假设空间的第四个维度。”〔10〕197可看出黎曼受到赫巴特的启发并突破了三维的限制按递归的方法构造了n维流形，这种构造方法体现了几何语言高维化的发展趋势。从本质上讲，黎曼的“流形”概念与当时格拉斯曼(h.ann,1809-1877)的“扩张”概念和施莱夫利(l.schlafli,1814-1895)的“连续体”概念基本一致.〔6〕83流形应具有哪些特征呢？黎曼提到：
“把由一个标记或者由一条边界确定的流形中的特殊部分称为量块(quanta)，这些量块间数量的比较在离散情形由数数给出，在连续情形由测量给出。测量要求参与比较的量能够迭加，这就要求选出一个量，作为其他量的测量标准。”〔9〕413黎曼在此使用的量块体现了现在拓扑学中的邻域概念的特征，“参与比较的量能够迭加”则是要求两个量块重叠的部分有统一的测量标准，即保证任意两个局部坐标系的相容性，这在后来由希尔伯特发展为n维流形局部与n维欧氏空间的同胚。黎曼这种引入点的坐标的方法并不是很清晰的，这种不清晰来自他缺乏用邻域或开集来覆盖流形进而建立局部坐标系的思想。11〕8在文章第二部分黎曼讨论了流形上容许的度量关系。他在流形的每一点赋予一个正定二次型，借助高斯曲率给出相应的黎曼曲率概念。进一步，黎曼陈述了一系列曲率与度量的关系。曲面上的度量概念，等价于在每一点定义一个正定的二次型，亦称为曲面的第一基本形式。自高斯以来，第一基本形式的内蕴几何学几乎一直占据着微分几何的中心位置。从后来的希尔伯特和外尔的流形的定义可看出，他们都延续了高斯的内蕴几何思想。
3.希尔伯特的公理化方法
从19世纪70年代起，康托尔(g.cantor,1845-1918)通过系统地研究欧几里得空间的点集理论，创立了一般集合论，给出了许多拓扑学中的概念。康托尔的研究为点集拓扑学的诞生奠定了基础，这使得希尔伯特能够利用一种更接近于拓扑空间的现代语言发展流形的概念。希尔伯特在1902年的着作《几何基础》中引进了一个更抽象的公理化系统，不但改良了传统的欧几里得的《几何原本》，而且把几何学从一种具体的特定模型上升为抽象的普遍理论。在这部着作中他尝试以邻域定义二维流形(希尔伯特称之为平面，而把欧氏平面称为数平面)，提出了二维流形的公理化定义：
“平面是以点为对象的几何，每一点a确定包含该点的某些子集，并将它们叫做点的邻域。
(1)一个邻域中的点总能映射到数平面上某单连通区域，在此方式下它们有唯一的逆。这个单连通区域称为邻域的像。
(2)含于一个邻域的像之中而点a的像在其内部的每个单连通区域，仍是点a的一个邻域的像。若给同一邻域以不同的像，则由一个单连通区域到另一个单连通区域之间的一一变换是连续的。
(3)如果b是a的一个邻域中的任一点,则此邻域也是b的一个邻域。
(4)对于一点a的任意两个邻域,则存在a的第三个邻域，它是前两个邻域的公共邻域。
(5)如果a和b是平面上任意两点,则总存在a的一个邻域它也包含b.”
〔12〕150可以看出在希尔伯特的定义中，(1)和(2)意味着在平面(二维流形)的任意一点的邻域到数平面(欧氏平面)的某单连通区域上都能建立同胚映射。(3)-(5)意图是要在平面(二维流形)上从邻域的角度建立拓扑结构。希尔伯特的定义延续了黎曼指明的两个方向：流形在局部上是欧氏的(这一点黎曼已经以量块迭加的方式提出)，在整体上存在一个拓扑结构。这个拓扑结构希尔伯特显然要以公理的方法建立(这一工作后来由豪斯道夫完成，豪斯道夫发展了希尔伯特和外尔的公理化方法，在1914年的着作《集论基础》中以邻域公理第一次定义了拓扑空间)，〔13〕249但与豪斯道夫的邻域公理相比，他的定义还不完善，比如(3)中描述的实际上是开邻域。另外，他没有提流形须是一个豪斯道夫空间。希尔伯特已经勾勒出流形的基本框架，随着拓扑学的发展，外尔完善了希尔伯特的工作，给出了流形的现代形式的定义。
4.外尔对流形的现代形式的定义
(a)给定一个称为”流形f上的点“的集合，对于流形f中的每一点p,f的特定的子集称为f上点p的邻域。点p的每一邻域都包含点p,并且对于点p的任意两个邻域，都存在点p的一个邻域包含于点p的那两个邻域中的每一个之内。如果u0是点p0的一个邻域，并且点p在u0内，那么存在点p的一个邻域包含于u0.如果p0和p1是流形f上不同的两个点，那么存在p0的一个邻域和p1的一个邻域使这两个邻域无交，也就是这两个邻域没有公共点。
(b)对于流形f中每一定点p0的每一个邻域u0,存在一个从u0到欧氏平面的单位圆盘k0(平面上具有笛卡尔坐标x和y的单位圆盘x2+y21)内的一一映射，满足(1)p0对应到单位圆盘的中心；(2)如果p是邻域u0的任意点，u是点p的邻域且仅由邻域u0的点组成，那么存在一个以p的像p′作为中心的圆盘k,使得圆盘k中的每一点都是u中一个点的像；(3)如果k是包含于圆盘k0中的一个圆盘，中心为p′，那么存在流形f上的点p的邻域u,它的像包含于k.”〔15〕17可以看出，(a)从邻域基的角度定义了f是一个豪斯道夫空间。(b)中的映射为一一的、双向连续的(即同胚)映射，这样(b)定义了f中任意一点都有一个邻域同胚于欧氏空间中的一个开集。外尔给出的这个定义正是现代形式的流形的定义，尽管外尔的定义是针对二维的情形，但本质上给出了流形精确的数学语言的定义，并且推广到高维没有任何困难。
一般认为，高维流形的公理化定义由维布伦(,1880-1960)和怀特黑德(ead,1861-1947)于1931和1932年给出，即把流形作为带有最大坐标卡集和局域坐标连续以及各阶可微变换的点集。实际上，这种看法没有足够重视外尔1919年对黎曼讲演的注释，特别是未能利用外尔1925年的长文《黎曼几何思想》。事实上，除了未对高阶微分结构予以明确区分外，外尔的注释和长文中实质上包含了高维微分流形的定义。
三、流形理论的发展
我们上面提到的流形指拓扑流形，它的定义很简单，但很难在它上面工作，拓扑流形的一种---微分流形的应用范围较广。微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象，是三维欧氏空间中曲线和曲面概念的推广。可以在微分流形上赋予不同的几何结构(即一些特殊的张量场)，对微分流形上不同的几何结构的研究就形成了微分几何不同的分支。常见的有：
1.黎曼度量和黎曼几何
仿紧微分流形均可赋予黎曼度量，且不是惟一的。有了黎曼度量，微分流形就有了丰富的几何内容，就可以测量长度、面积、体积等几何量，这种几何称为黎曼几何。黎曼这篇《关于几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年霍普夫(,1894-1971)才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是嘉当(,1869-1951)在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，李群与黎曼几何之间的联系逐步建立了起来，并由此拓展了线性联络及纤维丛的研究。
2.近复结构和复几何
微分流形m上的一个近复结构是m的切丛tm的一个自同构，满足j·j=-1.如果近复结构是可积的，那么就可以找到m上的全纯坐标卡，使得坐标变换是全纯函数，这时就得到了一个复流形，复流形上的几何称为复几何。
3.辛结构和辛几何
微分流形上的一个辛结构是一个非退化的闭的二次微分形式，这样的流形称为辛流形，辛流形上发展起来的几何称为辛几何。与黎曼几何不同的是，辛几何是一种不能测量长度却可以测量面积的几何，而且辛流形上并没有类似于黎曼几何中曲率这样的局部概念，这使得辛几何的研究带有很大的整体性。辛几何与数学中的代数几何，数学物理，几何拓扑等领域有很重要的联系。
四、结语
以上谈到的是流形的公理化定义的发展历史，其线索可概括为高斯---黎曼---希尔伯特---外尔。导致流形概念诞生的根本原因在于对空间认识的推广：从平直空间上的几何，到弯曲空间上的流形概念的历史演变几何，再到更抽象的空间---流形上的几何。流形概念的一步步完善与集合论和拓扑学的发展，特别是邻域公理的建立密不可分，(微分)流形已成为微分几何与微分拓扑的主要研究对象，并发展成多个分支，如黎曼几何、复几何、辛几何等。所以说，几何学发展的历史就是空间观念变革的历史，伴随着一种新的空间观念的出现和成熟，新的数学就会在这个空间中展开和发展。
参考文献
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数学史论文
在中学数学教学中，教师在讲解某一知识点时，将与该知识相关的资料讲述给学生听，比如数学家研究出该知识点时采用的方法、运用的路径等，也就是说在教学过程中适当的将数学史分析给学生，从而让学生能够掌握学习数学的方法，同时还可以拓宽学生的知识面，由此可见，在中学数学教学中，数学史拥有着非常重要的作用，因此，研究数学史的应用对中学数学教学来说有十分重要的现实意义。
1数学史的教育价值
1.1能够培养出学生的数学创造性思维能力
在数学教学的过程中，不止要让学生掌握数学知识，还要让学生具备一定的创造性思维能力，具备利用数学知识解决实际问题的能力，这已经发展成为数学教育界的共识，为了完成这一目标，教师在进行中学数学教学时，根据数学史来设计教学内容，有利于培养学生的创造性思维。
1.2帮助学生认识数学，理解数学思想
在实际的中学数学学习中，有很大一部分学生认为数学既枯燥又难学，这个现象的存在除了教师的教学方法不恰当之外，学生自身的错误认识也是很重要的原因。但是如果在中学数学教学过程中恰当的渗透相关数学史内容，不仅可以调动起学生学习数学的兴趣，还可以帮助学生认识数学，理解数学思想，掌握数学学习技巧。
1.3培养学生的爱国主义精神
在数学方面，我国古代取得了比较灿烂的数学成就，而且有些成就的提出时间要比国外早很多，比如正负数的概念就是我国最先提出的。在中学数学教学的过程中，通过相关数学史的介绍，让学生充分了解我国灿烂的数学文化，进而培养出学生的爱国主义精神，并增强民族自豪感。
1.4培养文化素养
在人类发展的过程中，积累并形成了大量的文化，数学作为文化中的重要组成部分，在提高人们的文化素养方面也具有非常重要的作用。实际上，数学史就是数学文化发展的历史，因此在中学数学教学的过程中，将数学史科学的融入进去，让学生了解并认同数学文化，进而有效的提升自身的文化素养。
1.5激发学生的学习兴趣
在学生学习数学的过程中，兴趣是最好的学习动机，然而在现阶段的数学学习过程中，学生的学习动机并不明确，导致学生对数学的学习无兴趣，最终影响到数学教学效果。但是在数学史中，有很多内容都能激发出学生的学习兴趣，比如巧拿火柴棒游戏、哥德巴赫猜想等，这样一来，学生学习数学的兴趣被调动起来，有效的提升了数学教学的效果。
2数学史材料的选取标准
2.1科学性与趣味性相结合
所谓科学性，是指选择的数学史材料内容要符合史实，而且教师在传授数学史时，不能随意更改数学史的内容，更不能虚构数学史内容，要做到尊重历史、尊重事实。而趣味性，是指选择的数学史材料内容要生动或者曲折，以便于能够活跃课堂气氛，调动学生学习的积极性，让学生参与到数学教学过程中。在实际的教学中，教师要做到科学性与趣味性相结合，提高教学效果。
2.2广泛性与实用性相结合
数学史涵盖的范围非常广，在选择数学史材料时，要选择能够反映不同时期、不同国家、不同文化背景的数学知识，这也是广泛性的要求；实用性是指所选择的数学史材料要对学生的学习有帮助。将广泛性与实用性结合起来，不仅可以拓宽学生数学文化知识的知识面，还可以直接促进学生的发展，教师在进行教学的过程中，要实现广泛性与实用性相平衡。比如在讲授勾股定理的证明时，可以将国内外的证明方法都演示给学生看，以便于学生能更好地掌握勾股定理。
2.3可接受性与目的性相结合
教师在选择数学史材料时，要充分的考虑学生的接受能力，要保证最终选取的数学史材料能够与学生所掌握的旧知识以及即将学习的新知识都有联系，而且在数学史材料中涉及的数学知识难度要适中，以略高于学生的水平为最佳，这样才能达到教学的目的。
3中学数学教学应用数学史的教学原则
3.1指导性原则
在中学数学教学的过程中，教师在选择数学史及运用数学史时，要充分的考虑学生的思考过程中，尽量的做到数学史教材化，实现数学知识与数学史的有机融合。实际上，数学教学的效果在很大程度上受到二者有机整合的影响，一般来说，整合的过程包括数学史与相关数学知识间的融合、数学史与学生之间的整合，只有做到有机整合，才能收获更好地教学效果。
3.2选择性原则
在数学教学的过程中，根据学生的实际学习水平及学习需求，有选择性、有针对性的将数学史内容融入到教学内容中，另外，根据具体的数学知识在教学中的作用，有选择的融入不同作用的数学史。
3.3研究性原则
在数学史中，蕴含了数学知识及数学思想的演变进程。在学生学习数学知识的过程中，会因为不理解而产生困惑，学生的这种困惑通过数学史就可以很好地解决。因此，教师要详细的研究数学的概念、理论、方法等的变迁，从中总结出教学难点并重新构建，以便于能够更好的解答学生的困惑，让学生理解并掌握数学思想。
4中学数学教学应用数学史的方法
4.1通过方法的比较，引导学生发现学习
从总体上看，教学内容可以划分为表层知识及深层知识两个层次，表层知识是指数学概念、性质、公式、定理等基本知识，而深层知识是指数学思想和数学方法。深层知识并不是独立存在的，而是蕴含在表层知识红，需要经过分析及挖掘之后才能掌握，因此，教师在进行教学的过程中，要将相关知识的深层知识渗透给学生，让学生的认识达到质的飞跃。在实际的教学中，教师可以对相关问题的中外解决办法进行对比，从对比中让学生学会学习处理数学问题的方法。比如在证明1+2+3+……+n=1/2n(n+1)时，教师可以将数学归纳法及数学结合的方法来演示证明过程，从而让学生更好的认识数学思维。
4.2从具体问题出发，引发学生积极思考
在数学教学过程中，教师要尽量的将数学的创造过程反映给学生，并能够引导学生积极的对该创造过程进行思考，从而在理解的基础上予以把握，为了良好的实现这一教学目标，就需要教师根据教学内容创设恰当的情境，让学生置身情境中去发现真理，只有这样，学生才能真正的学会数学知识。比如等差数列教学，可以利用杨辉的“三阶幻方”来辅助教学，以提升教学效果。
4.3利用数学史开展探究性学习
研究性学习针对的是学生的学习过程，通过对知识的研究和探索，从而有效地提升自身的思维能力及解决实际问题的能力。在数学教学中，开展探究性学习要以数学史为基础，充分培养学生自主学习的能力。对于大部分的数学概念、定理来说，都是经过推理得到的，但是教材中只是将结果呈现给学生，缺乏推理的过程，因此，教师可以通过数学史的融入，将过程呈现在学生面前，让学生进行充分的联想、分析及观察，提升学习的兴趣，引导学生主动探究。
4.4利用历史上的名题
在数学史中蕴含了大量的名题，这些名题教师可以直接拿来教学，比如希腊三大几何难题、《九章算术》中的应用题等。通过历史名题的教学，可以让学生很好地掌握数学思想及数学方法，并培养出学生的创造性思维，提升学生利用数学知识解决实际问题的能力。
4.5利用历史上的逸闻趣事
在选择数学史内容时，除了注重知识性之外，还要具备趣味性，因此，在教学中，教师可以将一些数学家的成长过程、逸闻趣事等介绍给学生听。很多的数学家成长过程都是比较坎坷的，教师将数学家的这些经历介绍给学生，不仅可以帮助学生建立克服困难的信心，还可以激励学生励志学好数学。
传统的中学数学教学只是单纯的传授数学知识，这不利于学生数学思维的培养，学生也无法掌握数学思想，从而降低学生利用数学知识解决实际问题的能力。为了有效的改善这个问题，在数学教学中应用了数学史，让学生了解数学概念、定理、法则、公式等内容的演变过程，从而使学生更好的掌握数学方法，学会学习数学，真正的提高自身的数学思维及数学能力。
参考文献：
数学史的毕业论文
摘要：像其它院校教学一样，在职业技术院校的数学教育中，数学史不仅发挥着不可磨灭的作用，而且能够有效的开发学生的数学思维能力，让学生懂得掌握数学的思想。因此，文章就数学史的教育价值进行了一定程度的分析，以便进一步发挥数学史的教育价值。
关键词：数学史数学教学
只有真正读懂历史、懂得历史的人，才能够对于数学进行进一步的理解。法国著名的数学家亨利庞加莱曾经说过这样一句话：“如果我们想要对数学的未来进行预测，我们首先就需要了解到数学这一门学科的历史以及现状。”随着最近几年职业技术院校的教育改革来看，已经将数学的文化价值推到了台前，也就使得人们对于数学史的关注越来越多。
一、数学史概念
数学史作为一门科学，研究了数学科学的发展以及规律，换句话说，就是对于数学研究的历史。数学史不仅仅是对数学内容、思想、方法的一种追溯，更多的是对于影响数学发展的各种因素的探索，也包含了在人类文明的发展上，数学史所带来的影响。所以，数学史不仅仅只是包含了数学本身，更多的是包含了文化、历史、哲学等众多的学科，属于一门交叉性较强的学科。
二、数学史在职业技术学校开展的必要性
在职业技术学院这一大环境之下，很多教师对于数学这一门课程都没有足够的重视，就谈不上数学史的教学了。因为，很多教师和学生都认为职业技术学院的学生就是为了学习专业的技术而来的，对于一些纯理论的东西是可有可无的。因此，在数学系当中，对于数学史的学习就没有引起足够的重视，而数学史知识的严重缺乏也就成为了学生在之后数学教育或者是科研方面的一大阻碍。因此，无论是否是职业技术学校，我们都需要从心里认识到数学史教育的必要性，要了解数学史的教育价值，从而在日常的教学当中，将数学史当做一门重点来抓，从而弥补以往在数学史这一方面的不足。
三、在职业技术教育当中，数学史的价值
在目前的职业技术院校的教育当中，已经越来越多的融入了数学史的教育，而对于数学教育，数学史的主要作用存在以下几点：
（一）有利于帮助学生理解数学
当数学家发现数学的时候，其思考是火热的，但是一旦研究结束了，我们面前呈现出来的则是“冰冷”的公式。所以，通过我们对于数学史的了解以及说明，我们就能够了解到在数学的研究当中，数学家是如何思考的、进行的。
例如：为什么古希腊人在开展数学的时候，要使用公理化的方法进行开展？古希腊人所处的是何种时代背景。而古希腊数学与中国的古代教育又存在如何的区别？弄明白了这些情况，对于学生在数学方面的理解能力的提高也有着一定的作用。而对数学老师而言，想要上好数学课，就需要自身具备良好的数学修养。
（二）有利于数学宏观认识的提高
作为一名专业的数学老师，并非是将书本上的知识传授给学生就完事了，更多的是需要为学生讲解数学发展的历史。作为一名优秀的数学教师，不仅需要授人以业，更多的是需要授人以法，从而做到受人以道。而在这里所说的“法”与“道”就要求了教师能够从宏观方面对于数学发展的情况能够理顺，能够深入到数学的本质当中去。数学史对于创新数学教育来说，起到了引导的作用。在数学史当中详细的对数学家在发现与发明的过程进行了及摘，数学老师对学生进行讲述后，也能够培养学生的'创造力，让学生懂得如何去创造。
例如:在公元263年，在我国古籍《九章算术》的注释当中，刘微对于在圆周长计算当中的“割圆”思想提出了计算，而他在论述当中所说的：“割之弥细，所失弥少，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失！”就成为了一种创新的激励，激励着学生的学习。
（三）促进学生培养良好的科学品质、正确的世界观
在接受职业技术教育的学生当中，大部分都是因为学生上的受过挫折的。尤其是在当今社会下注重分数轻视能力的大背景下，很多学生在思想上认为自己无法和考上了名牌大学的学生相比较，从而失去了自信心，给自己带上了“差生”的帽子。而这一种消极的状态则在学生日常的方方面面表现了出来。因此，他们在课堂之上除了掌握基本的知识点之外，更重要的是培养良好的人文素养。
数学史为数学教育德育功能的实现提供了一定的帮助。进行数学史教学能够提升学生对于数学学习的兴趣，也能够达到活跃数学课堂氛围的效果，从而有利于教学效率的提高。对于我国现代数学家的伟大贡献的讲述，能够起到一定的激励作用。而丰富的数学史料的融入能够培养出学生正确的价值观、情感以及态度。展示在数学领域当中古今中外的数学家的崇高精神以及伟大的人格对于学生培育学科精神、完善道德都起到了不可磨灭的作用。此外，在史料当中，对于数学家所犯的“低级”措施的恰当引出，对于学生正确的、理性的看待学习当中的失败，形成良好的科学品行也起到了至关重要的作用。
（四）数学史为之后的科研事业打下了坚实的基础
对于学生以后的数学研究工作来说，数学史是良好的方法论基础。“科学能够带给我们丰富的知识，但是历史却能够让我们拥有智慧。”现阶段的职业技术学生的学生也不可能从而很多的数学科研工作。但是，数学史对于以后志向在数学方面的学生，仍然起到了重要的作用。
数学史能够提升学生的科研意识的培养。通过数学史的学习，学生能够清楚的了解到数学问题的提出、解决以及哪些问题一直困扰着大家。数学史也能够为了学生之后的科研方向提供一定的基础。目前来说，数学的各个分支发展是极为不平衡的。很多分支虽然起步相对较晚，但是依然存在较大的进步控制，而这就成为了数学工作者一展才华的天堂。虽然，目前的职业技术学校的学生对于各个数学分支的认识相对有限，并且这一种有限的认识会影响到学生以后的选择。但是数学史的融入，不但可以帮助学生理顺数学的发展，还能够为他们之后的发展提供专业性的意见。因此，数学史的教育价值显而易见。
总之，在职业技术教育当中，想要将数学史的价值发挥出来，还需要两者的相互整合，有赖于所有的教学工作者的探讨与摸索，也希望本文中对于数学史的教育价值的分析与阐述能够为之后的工作尽一份微薄之力。
参考文献:
[1]张国定.全面认识新课程下数学史的教育价值[j].教学与管理,,(25)
[2]岳荣华.发掘数学史在数学教学中的教育功能[j].衡水学院学报,,(01)
数学史论文
随着数学、科学技术和社会的发展，人们对数学有了越来越深刻的认识，对数学和数学教育、数学史与数学教育的关系有了越来越深刻的认识，对数学教育取向的数学史研究及其教育价值的发挥也越来越重视。本文就数学教育取向的数学史的学科性质，它与数学教育的密切联系，怎样通过数学史学习加强数学教育、发挥数学史的教育价值，以及融数学史与数学教学中存在的困难和问题做初步探讨。
1数学史的学科性质
数学史是研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，也是科学史下属的一个重要分支。数学史与数学研究的各个分支、社会史、文化史的各个方面都有着密切的联系。数学史研究数学原理、概念、思想和方法等的起源与发展，及其与社会、政治、经济和一般文化、教育的联系，它不仅追溯数学原理、概念、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。数学史的研究对象不仅包括具体的数学内容及其发展的历史分期，而且涉及历史学、哲学、文化学、教育学、宗教学等社会科学与人文科学内容。因此，数学史是一门综合性、交叉性学科。
本文所指的数学史，不是那种为历史而研究历史的纯数学史，而是为教育而研究历史的数学史，也就是数学教育取向的数学史，其关注点侧重于以对数学发展作出贡献的着名历史人物的可歌可泣的、丰满鲜活的数学创造事迹为载体，追溯数学原理、概念、思想和方法的演变、发展过程，探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学发展对人类文明所带来的影响。
2数学史的教育价值
数学是历史最悠久的人类知识领域之一。从远古屈指计数到现代高速电子计算机的发明，从量地测天到抽象严密的公理化体系，在五千余年的数学历史长河中，重大数学思想的诞生与发展确实构成了科学史上最富有理性魅力的题材。与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要方面。因而，数学史是从一个侧面反映的人类文化史，又是人类文明史的最重要的组成部分。许多历史学家也通过数学这面镜子，了解古代其他主要文化的特征与价值取向。
数学科学作为一种文化，不仅是整个人类文化的重要组成部分，而且始终是推进人类文明的重要力量。对于每一个希望了解整个人类文明史的人来说，数学史是必读的篇章。可以说不了解数学史就不可能全面了解整个数学科学。数学史在整个人类文明史上的这种特殊地位，是由数学作为一种文化的特点决定的。数学史无论对于深刻认识作为科学的数学本身，还是全面了解整个人类文明的发展都具有重要意义。
数学史在数学教育中的重要作用早在19世纪就已经被一些西方数学家所认识。法国着名数学家亨利·庞加莱(j.h.poincare,1854~1912)指出：“如果我们想要预见数学的未来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。”[1]数学史家卡约里(cajori,1859~1930)说：“数学史的重要性表现在数学为人类文明所作出的贡献。
在我国，数学史的教育价值也早已被一些学者所认识。近年来，论述数学史教育价值的文章不断增多，在数学教学中融入数学史的呼声越来越强烈，特别是《普通高中数学课程标准（实验）》的颁行把数学史融入数学教学的行动从幕后推到了前台。2005年5月在西安召开了我国第一届数学史与数学教育会议，这表明，数学史与数学教育这一领域已经得到我国数学史与数学教育界的普遍关注。
总之，数学教育取向的数学史的教育价值早已被人们所认识，关于数学史与数学教育的关系的研究正在不断深入，融数学史于数学教学已经从理念逐步变为行动，也成为通过数学教育对学生进行德、智、美育的切入点。通过数学教育取向的数学史的学习，进一步认识数学史与数学教育的内在密切联系，在数学教育教学过程中发挥数学史的教育价值，优化学习者的知识结构，提高人才培养质量。
概括而言，数学教育取向的数学史的教育价值主要在于以下几个方面：
2.1给数学教学积累丰富的教育性资料
数学具有严谨的逻辑性、高度的抽象性、应用的广泛性、深刻的文化性、知识的延续性、独特的优美性等特点。作为数学教师，只有通过数学史积累丰富的教育性资料，才能获取相关知识点（如，数学概念、公式、定理和方法等）的教学启示，为丰富和活跃数学教育教学活动打好基础。
数学史对于数学教师而言不仅是教学中必需的知识，而且也是形成数学思想和方法以及培养专业精神和科学探索精神的源泉。
2.2为数学课程和教学设计提供丰富的史料
近几年来，在国内外数学教育改革中，强调数学的文化价值，使数学史知识得到广泛的关注。
数学史已成为数学课程和数学教学设计的丰富史料，已成为数学教学内容的有机组成部分。
2.3深化对数学原理、概念、思想和方法的理解
他们所处的时代背景如何？中国古代数学的特点和古希腊数学的特征有何不同？等等。弄清这些问题，对学生理解数学很有好处。在这方面，值得研读的数学名着之一是美国着名数学史家m·克莱因（klinemorris,1908~1992)1972年出版的着作《古今数学思想》(1979年有中译本）等。
丹麦数学家、数学史家邹腾(h.g.zeuthen,1839~1920)早在1876年的一篇数学史论文中就强调数学专业的学生学习数学史的必要性，他指出：“学生不仅获得了一种历史感，而且，通过从新的角度看数学学科，他们将对数学产生更加敏锐的理解力和鉴赏力。”[3]对于一个数学教师而言，如果没有数学史方面的知识积累和修养，很难把数学课上好。
2.4激发学习兴趣和爱国热情
融数学史于数学教学，使学生了解数学与人类文明发展的密切关系，可以激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，提高教学效果。数学史可以使学生了解数学的发展，了解中国古代数学的辉煌成就，了解中国近代数学落后的原因和中国现代数学研究发展的现状，充分介绍中国现代数学家的贡献，以激发学生的爱国热情，培养胸怀宽广的奉献精神，振兴民族科学。华罗庚(1910~1985)、陈景润(1933~1996)、陈省身(1911~2004)等着名数学家的光辉事迹，中学物理教师陆家羲(1935~1983)在数学研究上取得的成就和献身精神等等，不仅是进行数学专业教育的典型材料，而且是进行思想教育、启发人格成长的良好材料。实现数学教育的德育功能，数学教育取向的数学史学习是不可缺少的内容。数学是全人类的共同财富。在科学发现上，各个国家和各个民族应该彼此借鉴，互相学习，共同提高。要把外国的一切优秀文化，包括数学成就都充分尊重，吸收过来。“洋为中用”，为祖国建设服务，实际上就是爱国主义教育。
人类的数学文明最早起源于巴比仑，其次是埃及。巴比仑的泥板、埃及的纸草书上的数学记载都在公元前1000年以上。即便是后来的古希腊的数学文明也远早于中国。中国古代数学虽然出现得比地中海文明要迟许多，但是具有自己的特点，同样为人类作出了重要贡献。我国着名数学家吴文俊院士曾经十分深刻地指出，中国古代数学的优秀传统是“算法数学”。中国算学虽然缺乏古希腊式的公理化演绎体系，却十分准确地用算法的形式表达出来。20世纪70年代，吴文俊从研究中国古算受到启发，并结合现代计算机技术进行思考，发展出了世界领先的“数学定理机器证明”方法（世称“吴方法”）。这样的古为今用，才是真正的爱国主义，才能真正激发起民族自豪感。
2.5强化应用和创新意识
提高学生对数学的宏观认识，数学教师的任务不仅要把书本上的内容讲清楚，还要对数学发展的来龙去脉有清楚的介绍。一个优秀的教师，不仅要授人以业，还要授人以法，进而授人以道。
教师要掌握这些“法”和“道”，必须宏观地理清数学发展的脉络，深入理解数学的本质。对于进行数学创新来说，数学史研究更具有指引作用。数学史中记载了许多数学家发明发现的生动过程，向学生介绍这些过程，有助于学生理解掌握创造的方法、技巧，从而增强其创造力。如公元263年，刘徽对我国数学古籍《九章算术》的注释中提出了计算圆周长的“割圆”思想。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这些对极限思想的朴素生动的描写，对后人是一种创新激励。大量的数学史料，对于培养学生坚韧不拔的探索精神，形成良好的认知结构和知识结构都具有重大意义。
2.6提高人文修养
许多数学家都是文理兼修的饱学之士，他们都具有辩证的认知结构和文理贯通的知识结构。因而，历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。在高等学校里，通过数学史学习，可以使数学系的学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养，文科或其它专业的学生通过数学史的学习可以了解数学概貌，获得数理方面的修养。通过数学史学习可以对学生进行人文教育，进行美育熏陶。在中小学数学教育中恰当地融入数学教育取向的数学史，对学生进行人文教育和美育熏陶，是数学课程改革中值得重视的一个重要课题。
3在数学教学中融入数学史应注意的问题
如何在基础教育数学教学中渗透数学教育取向的数学史，是一个国际数学教育界共同关心的问题。1998年，国际数学教育委员会在法国马赛组织了一次“数学史与数学教育”的专题研讨会。
这次会议的主题是数学文化，要求数学教学充分反映数学的文化底蕴，从课程内容，概念形成，证明方法，习题配置等各个方面，全方位地使数学史融入、丰富和促进数学教学。
数学文化观念下的数学史教学，要把握各民族文化发展的历史进程，看到世界各国的科学技术是如何各自发展，又如何彼此融合，互相促进。
数学是人类追求真理的文化结晶。我们要从数学史中汲取对我们今天有用的文化内涵。
3.1融数学史于数学教学应重视科学性、实用性、趣味性和广泛性
（1）科学性是指教师向学生传授的数学史知识必须是正确的。应该尊重历史，尊重事实，既不可随意编造，也不能无端拔高，更不可进行艺术加工，不可把数学史当作故事，随意虚构。
（2）实用性是指所讲的数学史对学生的数学学习及将来工作有直接帮助作用。例如，初等数学中的数的起源与记法、发现无理数的过程、圆周率、勾股定理、笛卡尔对直角坐标系的贡献等等；高等数学中的微积分的概念、函数的概念、非欧几何的创立，不仅史料丰富，而且内容精彩，非常适合于课堂教学，对学生理解所学的知识有很大的帮助。但受课时的限制，所选内容要精当，要有所侧重。
（3）趣味性是指课堂教学要有趣味，学习内容可以激发学生的学习兴趣。数学史上惊心动魄、引人人胜的例子不胜枚举，教师应恰当选材，使课堂教学娓娓动听。讲授时要合理地运用语言，全身心地投入表达，语调与情节配合，知识性与趣味性共生，应避免照本宣科或哗众取宠，要寓教于乐，注重实际效果。
（4）广泛性是指选取的数学史知识要涉及面广。数学是几千年来全人类孜孜以求、不断探索、历尽千辛万苦共同取得的理性财富。在整个数学科学发展长河中，数学是在人类社会变革推动之下，各国数学家相互交流学习，共同探索的结果。因此，在进行数学教育取向的数学史教学时注意选择不同时期、不同国度的史料。这样才能全面地、真正地、准确地展示数学史的全貌。
3.2融数学史于数学教育关键在教师
（1）教师应有广博的数学史知识以及政治、经济、哲学、文化、历史、地理等多方面的知识，教师应加强数学史知识的学习和多学科知识的充实，丰富自己的阅历。这样讲课才能得心应手，将课讲活讲透。不能将数学史知识生搬硬套地应用到数学教育中。
（2）数学史知识是穿插在授课内容中的，不能喧宾夺主，应以完成授课计划为主。在授课过程中自然引出，不应过分渲染，忽视了正常的教学内容。正确把握好数学史和课堂教学内容的主次。
（3）除课堂教学外，应为学生提供适当的参考文献，引导学生阅读课外读物，例如，各种专题论述、人物介绍、学科进展等，使学生开阔眼界，启发和引导学生进行正确阅读，继而进行自学，使学生终身受益。
（4）数学史中教书育人的作用是其他数学课无法取代的。这要求教师应有积极主动的态度，为人师表，在理想、道德、情操方面为学生树立榜样，提高学生的数学素质和思想素质，要把爱国主义和国际意识统一起来。
3.3努力改变“高评价，低应用”的现象
如何将数学史融入数学教学，是近几年来国际上数学史与数学教学关系国际研究小组(hpm)关注的中心话题，一些国际知名的hpm研究者相继对数学史融入数学教学的层次、过程、形式和途径进行了深入探讨。但是，由于数学教育的复杂性及其现实条件，真正具有普遍推广价值的研究结果比较少。在我国，尽管有很多学者大声呼吁“应该讲点数学史”，而探讨如何去做的实质性试验研究明显偏少。于是，世界各地在融数学史于数学教学方面不同程度地都存在“高评价，低应用”的相悖现象。这个问题在我国进行基础教育数学新课程改革的今天显得更加突出。
究其原因，从数学教师的角度来看，主要有“四无”，即手头无资料，胸中无知识，课程中无设计，课堂上无时间；从考试的“指挥棒”作用上来看，主要有“三不”，即考试不要求，平时不检查，学生不愿意花时间；从教学资源方面来看，主要有“二少”，即研究投入少，教学案例少。因而导致教学资源（包括显性的和隐性的）不足，进而影响学生综合素质的提高。因此，我们要增强教学资源开发意识，加强试验研究，努力改变“高评价，低应用”的相悖现象。国家数学课程标准的颁行，考试制度的改革，将会对融数学史于数学教学、发挥数学史的教育价值有一个实质性的推进。
参考文献：
[1]杜瑞芝。数学史辞典[m]。济南:山东教育出版社，2000,8.
[3]张维忠，汪晓勤，唐恒钧，等。文化传统与数学教育现代化[m]。北京：北京大学出版社，2006,4.
[4]教育部。义务教育数学课程标准（2011年版）[m]。北京：北京师范大学出版社，2012,1.
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[6]李文林。数学史教程[m]。高等教育出版社，纽约:施普林格出版社，2000,8.
[7]李永新，等。中学数学教育学概论[m]。北京：科学出版社，2012,6.
[8]张楚廷。数学文化[m]。北京：高等教育出版社，2000,7.
数学史的毕业论文
函数在当今社会应用广泛，在数学，计算机科学，金融，it等领域发挥着举足轻重的作用;在数学发展的历史上，函数这一概念从提出到如今渗透到数学的各个层面，都在数学学科中有着不可撼动的地位。学好函数、了解函数的发展历史不仅能提高我们对函数概念的认知度，还能有助于我们更好的运用函数解决实际问题。
1函数产生的社会背景
函数（function）这一名称出自清朝数学家李善兰的着作《代数学》，书中所写“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”。而在16、17世纪的欧洲，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴给人们的思想带来了觉醒，新兴的资本主义工业的繁荣和日益普遍的工业生产，促使技术科学和数学急速发展，这一时期的许多重大事件向数学提出了新的课题;哥白尼提出地动说，促使人们思考：行星运动的轨迹是什么、原理是什么。牛顿通过落下的苹果发现万有引力，又自然使人想到在地球表面抛射物体的轨迹遵循什么原理等等。函数就是在这样的一个思维爆炸的时代下渐渐被数学家们所认知和提出。
早在函数概念尚未明确之前，数学家已经接触过不少函数，并对他们进行了分析研究。如牛顿在1669年的《分析书》中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示;纳皮尔在1619年阐明的对数原理为后世对数函数的发展提供有力依据。1637年法国数学家笛卡尔创立直角坐标系，使得解析几何得以创力，为函数的提出和表述提供了更加直观的方式;直角坐标系可以很形象的表述两个变量之间的变化关系，但他还未意识到需要提炼一般的函数概念来阐述变量的关系。17世纪牛顿莱布尼兹提出微积分的概念，使得函数一般理论日趋完善，函数的一般概念表述呼之欲出。在1673年莱布尼兹首次使用函数一词来表示“幂”，而牛顿在微积分的.研究中也使用了“流量”一词来表示变量之间的关系。函数就是在数学家们不同分支但相同意义的研究下顺应而生。
2函数概念的提出和初步发展
1718年，瑞士的数学家约翰·伯努利（johannbernoulli）把函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量”。伯努利把变量x和常量按任何公式构成的量叫做x的函数，表示为yx。值得一提的是伯努利家族是一个科学世家，3代人中产生了8位科学家，后裔中有不少人被人们追溯过，这是非常罕见的。约翰·伯努利的函数定义在为后世的函数发展提供了便利。
1755年，瑞士数学家欧拉（leonhardeuler）把函数定义为“如果某些变量，以某一些方式依赖于另一些变量;即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，就把前面的这些变量称为后面这些变量的函数”。欧拉的定义与现代函数的定义很接近。在函数的表达上，欧拉不拘于用数学式子来表示函数，破除了伯努利必须用公式表达函数的局限性，他认为函数不一定要用公式来表示，他曾把画在坐标系上的曲线也叫做函数，他认为函数是“函数是随意画出的一条曲线”
3十九世纪的函数—对应关系
19世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代，几何，代数，分析等各种分支犹如雨后春笋般竟相发展;函数进入19世纪后，概念理论得到了极大的拓展和完善。
1822年傅立叶发现某些函数可以表示成三角级数，进而提出任何函数都可以展开为三角级数;提出著名的傅立叶级数。使得函数的概念得以改进，把世人对函数的认识推到了一个新的层次。
1823年，法国数学家柯西从定义变量开始给出了函数的定义，指出无穷级数虽然是定义函数的一种有效方法，但定义函数不是一定要有解析表达式，他提出了“自变量”的概念;他给出的定义是“在某些变数间存在一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”这一定义与现在中学课本中的函数定义基本相同。
1837年，德国数学家狄利克雷指出：对于在某区间上的每一个确定的值，都有一个或多个确定的值，那么y就叫做x的函数。狄利克雷的函数定义避免了以往以往函数定义中依赖关系来定义的弊端，简明精确，为大多数数学家所接受。
4现代函数—集合论的函数
自从德国数学家康托尔提出的集合论被世人广泛接受后，用集合的对应关系来表示函数概念渐渐占据了数学家们的思维。通过集合的概念把函数的对应关系、定义域以及值域进一步具体化。1914年豪斯道夫在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数;库拉托夫斯基在1921年又用集合论定义了“序偶”。这样就使得豪斯道夫的定义更加严谨。
1930年，新的现代函数定义为：若对集合m的任意元素x总有集合n确定的元素y与之对应，则称在集合m上定义一个函数，记为y=f（x）。元素x称为自变量，元素y称为因变量。
5函数发展对当代社会的意义
函数的发展，对当代社会的生产生活产生了重大的影响;函数概念也随着时代的不断进步而分成了网状的分支，从简单的一次函数到后来复杂的五次函数方程的求解;从简单的反函数，三角函数到后来的复变函数，实变函数。这些函数的常用性质，以及函数的求解都随着人们对函数概念理论的不断深入而发现，进而无数人对其更加深入了研究探讨，函数思想理论也深入渗透到社会各个领域。从教师教学中的函数思想到解决实际问题的数学建模;从计算机编程领域的c函数到调控市场经济的概率理论研究，函数无时无刻不在发挥其强大的作用。了解函数概念发展的过程，就是不断挖掘理解函数内涵的过程，可以使人们对这个客观的世界更加深入的了解，有助于人们丰富视野，并不断的加以发展，适应不断变化的社会需要。